数学归纳法 mathematical induction

数学归纳法 mathematical induction

　　亦称“递归证法”。完全归纳法的一种，是数学上证明命题的一种方法。由于自然数具有这样一个重要性质：任意一个自然数的集合，如果包含1；并且假设包含K，也一定包含K的后继数K+1，那么这个集合包含所有的自然数。根据这一性质，为了证明与自然数n有关和一个命题，如果能证明：(1)当n＝1时，命题成立；(2)当n＝K时，命题成立。若n＝K+1，命题亦成立；则由n＝1时，命题成立，推出n＝1+1＝2，亦成立；由n＝2时，命题成立，推出n＝2+1＝3，亦成立；…。这样，则对任意自然数n，命题都成立。例如，由于1＝1²，又在1+3+5+…+(2K—1)＝K²的假定下，得到1+3+5+…+(2K—1)+(2K+1)＝(K+1)²，所以，最初n个奇数的和等于n²。一般说来，对于一些可以递推的有关自然数的命题，都可以用这种数学归纳法来证明。应用这种归纳法证题时，主要有以下两个步骤。第一步，证明当n=1时，命题成立；第二步，假设当n=K时，命题成立，证明n＝K+1时，命题也成立。两个步骤缺一不可。第一步是奠基步骤，缺少它递进就没有基础；第二步是归纳步骤，缺少它递进就没有根据。前者为后者的假定提供了初始的实际根据，在此基础上，才能经第二步逐个递推，作出“命题对任意自然数都成立”的结论。

　　　　　　　　　　——摘自《安全工程大辞典》（化学工业出版社，1995年11月出版）