逻辑代数

　　algebra  of logic  数理逻辑中较早形成的一个分支，指一种代数化的逻辑。它是用代数公式表示逻辑关系，把代数方法应用于逻辑研究的结果。逻辑代数由英国数学家C．布尔于1890午前后首创，后经W．S．耶方思和C．S．皮尔士改进，主要是用可兼的逻辑和代替不可兼的逻辑和，同时删去没有确定的逻辑意义的符号组合如除法等，并改掉某些不严格的表达方式，引进不等式。19世纪后期，德国数学家E．施罗德总结前人研究的成果，构成了一个演绎系统。20世纪早期，美国的E．V．韩廷顿和A．塔尔斯基广泛地研究并建立了逻辑代数的公理学基础。就其抽象的数学形式说，逻辑代数已发展成为一门作为格论的分支的代数理论，通称布尔代数。逻辑代数实际上是抽象的布尔代数的逻辑解释或在逻辑上的应用。因对其所作解释的不同，主要又有类代数和命题代数之分。布尔代数还在其他领域如开关理论和计算机设计中得到解释。

　　(1)类代数。类代数是类逻辑的代数化。所谓类逻辑是从外延上理解的一阶一元谓词逻辑。一元谓词的外延指称该谓词所适用的个体的类；由论域中所有个体组成的类叫全类，记作1。不含有任何事物的类叫空类，记作0。考虑全类的所有子类，即包含于其中的类(包括1和0)，令a、b、c……”为这样的类变元。由论域中不属于a类的个体组成的类叫做a的补，记作a′。由或属于a类或属于b类的个体组成的类叫做a与b的逻辑和(并类)，记作aUb。由既属于a类又属于b类的个体组成的类叫的a与b的逻辑积(交类)，记作a∩b，简记作ab。如果a类与b类所含的个体相同，则称a与b等同，记作a=b。a与b不等同记作a≠b。1和0是两个特定的类常元。′、U和∩是3种逻辑运算，分别叫类的取补、求和(加法)和求积(乘法)。此外，还可以通过定义引入包含于关系 ，例如把a b定义为a∩b′=0，于是自然有：对于任何类a，0 a 1。

　　在类代数中，不带有主词存在断定的直言命题aAb、aEb、aIb和aOb，可表示为a∩b′＝0、a∩b＝0、a∩b≠0和a∩b′≠0。传统逻辑中三段论第一格AAA式可表示为：

　　如果c∩b′＝0且a∩c′＝0，则a∩b′＝0。第三格EIO式可表示为：

　　如果c∩b＝0且c∩a≠0，则a∩b′=0。类代数的运算满足表17—5中列出的基本定律。

　　从这些定律出发，特别是只需要以其中的交换律、分配律、前两个幺元律和补余律作为初始定律即公理，就可以推导出类逻辑的所有定律(定理)；类逻辑的内容比传统的三段论理论要丰富得多，大致相当于只包含一元谓词的一阶谓词逻辑。一般的谓词逻辑也可以用更进一步的代数方法处理，但已超出通常所谓的逻辑代数的范围。

　　(2)命题代数。命题代数在结构上与类代数完全相同。只需对类代数中的符号作命题逻辑的解释，或者干脆改为相应的命题逻辑符号，就得到命题代数。即把类变元改为命题变元p、q、r、…；改为否定词┓(“并非”)；∪改为析取词∨(“或者”)；∩改为合取词∧(“并且”)。1和0分别解释为特定的逻辑上的真命题和逻辑上的假命题，或称有效命题和矛盾命题；＝表示两命题逻辑上等值。这时，┓、∨和∧作为命题运算正好满足形式上与类代数的基本定律相对应的定律，而整个命题代数可包括命题逻辑的全部内容。命题代数和类代数可以有各种形式的公理系统，尤其是都可以有关于布尔展开式的定理，它相当于命题逻辑中的优析取范式和优合取范式的定理。

　　逻辑代数与命题代数有所不同，它还可以把1和0分别解释为命题的真和假，令变元只取1和0为值，即令其为二值的真值变元，并把┓、∨和∧解释为真值运算，从而得到一种提供命题真值运算的真值代数。而且，在二值的真值代数中特别可以有定理“p＝1或p＝0”，但在一般的命题代数和类代数中却没有与此相应的定理。

　　(3)文恩图。布尔代数还可以作几何或拓扑的解释，这就使得人们有可能用画图的方法解说和验证类代数以及命题代数的定律。美国逻辑学家J．文恩(1834～1923年)于1880年创造了一种图解方法，通称文恩图或文恩图解。文恩图的基本形式是根据需要在一个矩形中画一个或若干个都相交叉的曲线形，通常是用2、3个圆圈，如图17—15所示。文恩图不同于欧拉图之处在于它用不同的区域表示各变元及其补的所有可能的组合，并可表示某一区域是否空类，其矩形表示论域，常可省去。文恩图的图17—16中有影线的区域正好是图17—17中有双重影线的区域，这就表明第一个分配律是正确的。为检验类逻辑推理的有效性，文恩图特规定在前提断定其为空的区域涂阴线；在前提断定其不空的区域中标“+”号，如果此区域分成几部分，则在其每一部分中标+号，并用虚线将这些+号连起来，表示其中至少有一部分不空，由图17—18可以看出三段论第一格AAA式是有效的。因为c∩b′＝0和a∩c′＝0，这两个前提断定：属于c但在b之外的区域和属于a但在c之外的区域都是空的，因而都要涂阴线，而这就使得属于a但在b之外的区域也全有阴线，即这个区域也是空的。这表明两个前提结合起来在逻辑上蕴涵结论(a∩b′＝0)。三段论第三格EIO式可以用图17—19证明如下：由于大前提是“c∩b＝0”，须在c与b交叉区域涂阴线；小前提是“c∩a≠0”，要求在c与a的交叉的区域标十号，由于此区域有一部分已涂有阴线，因此只能在下剩的空白部分标十号；结论a∩b′≠0断定属于a但在b之外的区域不空。现在，这个区域中果然已经有+号，这就表明这个格式是有效的。图17—20是用4个椭圆表示的含有4个变元的文恩图。

　　含有更多变元的文恩图更为复杂，而且它的各个变元只能用非凸闭曲线表示。

　　　　　　　　　　——摘自《安全工程大辞典》（化学工业出版社，1995年11月出版）